[복습] Call option, Put option & Option Pricing 옵션 가격결정

포트폴리오, 분산, 시장 베타, CAPM, APT, 채권, 옵션, 선물, 스왑 등의 내용이 투자론 과목에 해당하는 내용이었군요! 저희 학교(Manchester Business School)는 금융론(재무론)으로 과목이 1년 동안 배우는 과목이라 몰랐는데 제가 1년 동안 배운 내용이 한국대학에선 재무관리론과 투자론으로 나뉘어져 있더라구요.  제가 1학기때 배운 내용이 재무관리, 2학기때 배운 내용이 투자론으로 봐야할 것 같습니다. 
저는 개인적으로 재무관리보다는 투자론이 더 흥미있었던 것 같습니다.  특히 옵션! binomial option pricing..워크숍 문제 푸는데 완전 흥얼거리면서 문제 풀던 기억이 납니다.  너무 재밌어요..tree diagram 그리면서 계산해 나가는 스타일은 완전 제 스타일입니다.. 그리고 더 흥분했던건 바로 그 tree diagram을 거꾸로 계산해가야 풀 수 있었던 Two-period (Multi period) Model!!!! 물론 블랙슐즈 모델도 완전 좋아라 합니다. 

 

※ 요 며칠 전에 CAPM과 Fama French Model 에 대한 글을 포스팅 했습니다.  관련 글 보기 ‘클릭’

 

사실 수많은 토픽들을 배웠지만 제가 재밌어했던 옵션 pricing에 대한 복습 내용을 이번에 포스팅하려 합니다..

특수 알파벳 문자를 많이 사용하는 관계로 (직역: 귀찮아서) 제 시험대비 노트 일부 몇 페이지를 스캔 했습니다.  세어보니까 21장이나 되더라구요;; 답안 작성 절차라던가 알짜배기 팁만 써놓은지라 교과서보다도 더 소중한 저의 고지도 같은 시험대비노트입니다.

 

근데 사진으로 찍고 보니 사진으로 찍는게 더 편하고 화질도 더 나은 것 같아요..하지만 이미 스캔을 하고 난 뒤였습니다.  다음부턴 그냥 카메라로 찰칵찰칵 휙 찍어버려야겠어요!

에구 잡담이 길었습니다.

Call Option, Put Option

option이라는 것은 일종의 권리입니다. Call option은 주식을 미래의 일정기간 동안에 살 수 있는, buy 할 수 있는 권리입니다.  Put option은 반대로 미래의 특정 시점 동안에 팔 수 있는, sell 할 수 있는 right (권리) 입니다. 

보통 옵션을 크게 두 가지 타입으로 나눌 수 있는데요. Call 이나 Put이냐 그리고 European option이냐 American option이냐 요렇게 나눌 수 있습니다.

※ European 옵션은 뭐랄까 좀 스타일이 뻑뻑합니다..American은 좀 자유분방하구요.  European 옵션은 미래의 특정기간동안에만 trader가 행사할 수 있게 하구요, 반면 American 옵션은 트레이더가 뭐 만기일전까지이기만 하면 맘대로 행사할 수있게 냅둡니다.  뭐 그밖에 여러가지가 있지만 그게 제일 큰 차이점이죠.. European option과 American option의 차이점은 시험에 간간히 나옵니다. 

옵션을 valuation하는데 있어 Binomial Method와 블랙슐즈 모델이 쓰입니다.

Binomial method는 주식(stock)과 loan 의 포트폴리오를 construct 하고 multiple periods 동안의 payoff 값을 measure 합니다.   가장 심플한 모델이 0-1년. 이때, 주식가격이 얼마큼 상승할 것인지의 확률과 얼마큼 하락할 것인지의 확률 그리고 행사가격(Exercise price 또는 Strike price라고 하죠)을 알고 있어야 합니다. 

여기서 K = X = 행사가격 = Strike price

그리고 Strike price = Enterprise price = Exercise price 다 같은 말입니다

풋콜 Parity 공식은 진짜 당연히 외워야 하는 공식이고 좌항 우항 왔다갔다 변형된 공식도 익숙하게 알고 있어야 합니다.

 

기말고사 시험에 option pricing에 관한 문제로 보통 structure가 이렇게 나옵니다. 

1. Option traders often refer to “straddles” and “butterflies”. What are they and what are they for?

 그럼 그래프 그리고 부연 설명 해줘야합니다.  배점이 한 4점에서 6점 정도 짜리 문제입니다.

 

2. The value of X 컴퍼니 is $50 per share. In each of the next two years, the stock price will either increase by 20% or decrease by 10%.  The risk-free rate is constant at 3% per annum. What is the price of a two year European put option on Network Systems stock with strike price $60?

 

주식가격이 오를 확률이 몇 프로고 내릴 확률이 몇 프로면 딱 이거죠 option pricing 관련 문제.  위에 제 노트에 있는 공식 가지고 트리 다이어그램 그리면서 풀 수 있는 문제입니다.  개념을 확실히, 충분히 이해하면 뭐 주식가격, 위험이자율..이런 factors들이 어떻게 바뀌든 같은 공식, 같은 문제풀이방법을 응용해 풀 수 있습니다.  이런 문제는 답안지 작성시 따로 부연 설명은 필요하지 않습니다.  썰을 풀어야 하는 문제는 바로 아래 문제입니다. 

3. i) Consider a binomial model where the stock price, initially at S, can rise to uS or fall to dS over the next period (u>1>d).  Let the risk-free interest rate be R% per period. Explain the no-arbitrage method and derive the formula for the value of a call option which matures in one period with strike price X.

일단 문제를 읽고 바로 principle of no-arbitrage를 떠올려야 합니다.  이 principle이 콜 옵션 가격결정하는데 적용됐으니까요.  no-arbitrage란 무엇이다 definition을 언급을 한 다음 금융시장은 아주 competitive하다 때문에 prices는 어떻다-, 그리고 no-arbitrage라고 가정함으로써 우리는 can relate the prices of some assets to the prices of others. 
In the binomial model, the payoffs of a call can be replicated using the payoffs of a stock and a bond.  The call is assumed to have the same value as the replicating portfolio.  그런 다음에 공식 언급해주면 됩니다.

ii) Explain the arguments leading to put-call parity for European options: P=C-S+X/(1+R)(T-t) where P is the value of a put option, C is the value of a call option at the current time t. Both options have strike price X, and mature at time T (exercise date). The risk-free rate is R% per annum.

 

증명 문제죠.  Portfolio A가 있다, Portfolio B가 있다라고 언급한 다음, 포트폴리오 A에는 Tresury bill을 invest하고 B에는 security 기초자산과 put option을 buy한다라고 언급합니다.  그리고 각각 포트폴리오의 cost of set up 을 구해서 이 두개의 cost of set up이 같다, 일치하다 라고 하면 됩니다 그게 곧 put-call parity 공식이니까요.

 

iii) Use the binomial method to price a European call and put with 6 months maturity and exercise price of $70. The interest rate is 2.5 percent per 6-months and the underlying stock is currently trading at $65. At maturity the stock will either have fallen to $52 or either have risen to $81.25.

a) Use a replicating portfolio argument to value the call and the put.

b) Check your answer using the put-call parity.

C 와 P를 구한다음  풋콜 parity 룰에 따라서 X와 S의 값을 구합니다. 

Two-period 일때

Tree diagram (가지 치기)를 두번 연속 그립니다.  그리고 계산을 맨 마지막 상단서부터 시작합니다.  제 노트에 나온 대로 첫번째 계산 순서가 맨 마지막 오른쪽 부터 시작합니다.  비록 가지가 다 묶여 있지만 각각 따로 봐야합니다.  즉 계산을 세번 해야합니다 (공식 세번 사용)

 

 

Why Real Options?
프로젝트 valuation을 하는데 있어 왜 Real option을 고려해야하는지...?
프로젝트 valuation 하는데 흔히 쓰이는게 NPV, DCF 아닙니까? (옵션 배우기 전까진)

근데 Discounted Cash Flow 방법은 일단 매니저가 passive하다고 봅니다. 그렇기 때문에 프로젝트에 첨가된(?), 부착된, 내제된 real option을 ignore하는거죠.  여기서 real option이란 다른 말로 the value of management를 뜻합니다.  여기서 uncertainty가 생기기 때문에 우리는 option pricing theory를 적용해야한다는 거죠.. 하지만 그렇다고 DCF 를 완전 깡그리 무시하는 건 아닙니다.  DCF는 기초자산 가치 구할 때 필요하죠.  이제 Adjusted PV가 등장합니다.

Adjusted Present Value = NPV + Real option value

그리고 이 real option에는 여러 카테고리가 있습니다. 
Timing option, Abandonment option, Expansion option 그리고 Switching option
그리고 BS모델이 쓰이는거죠. 
※ 예를 들어, timing option은 when companies have the option to delay an investment라는 것입니다.  그러면 the option to delay is a call option.  You can calculate it by using BS Model...!

Black Scholes Model

참고로 블랙슐즈 공식은 구지 외울 필요는 없습니다 공식이 주어지고 대입해서 풀면 됩니다. 

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